Matematika
Slovo "matematika" můžeme odvozovat od řeckého
"mathematikos". V řečtině to je přídavné jméno odvozené od
slovesa "učit se", tedy řekněme učenlivý, ten kdo se učí,
kdo má rád, když se učí.
Na slovese "učím se" se mi líbí, že zdůraňuje dějovost celé
záležitosti a to, že činitelem - podmětem jsem já. Oproti
tomu slovo "moudrost" se mi zdá nešťastně stavové a nijak
nenaznačující, kdo že je podmětem. Můžu věkem moudřet,
dokud nezačnu blbnout, ale asi nemohu "moudřit se".
Až dost dlouho po tom, co jsem se matematikou začal vážně
zabývat, jsem si dokázal ztvárnit, čím se podle mě liší
matematika, jak je vyučována v rámci všeobecného vzdělání a
jak je používána v jiných oborech, od matematiky matematiků.
Zatímco na základních a středních školách a
v nematematických oborech to vypadá, že matematika je nauka
o tom, jak něco spočítat, jak vyřešit to a to, tedy nějaký
příklad, těžiště matematiky podle mě vůbec není v postupech,
jak něco spočítat, vyřešit, dosáhnout, vymyslet, říct, nýbrž
v tom, jak, když už to jakkoliv spočítám, ověřím, dosánu,
vymyslím, řeknu, ověřím že je to správně. Nebo odvážněji:
Jak ověřím, že je to Pravda.
Když se mladá žena či mladý muž začnou učit matematice
matematiků, je jim překládáno něco, čemu se říká "věty",
a takzvané "důkazy" těchto vět. Myslím, že slovo důkaz, ač
v odborném pojmosloví pevně zakořeněno, je poněkud matoucí.
Jde totiž o něco úplně jiného, než o důkazy v detektivním
příběhu, důkazní prostředky u soudu, důkazy (cizím slovem
argumenty) v rozpravě a i než o důkazy přírodovědců. Tím
více se to liší od zdůvodňování, dokazovaní (cizím slovem
argumentace) věd společenských či filosofie.
U pojmu "věta" tuhle potíž nevnímám. Matematické věty byvájí
sice často, řekněme pro svou složitost, vyjadřovány několika
větami mluvnickými s hojným použitím všelikých značek umně
seskládaných do vzorců, ale s něčím podobným se setkáváme
i při jiném mluvení. Mám volbu několik kratších vět složit
do věty dlouhé a naopak dlouhou velevětu rozložit do
několika vět kratších.
Traduje se, že už před pár tisícem let řecký pan Pythagoras,
přišel na něco, čemu teď říkáme Pythagorova věta, a co se
dá vskutku jako věta říct: Součet čtverců nad odvěsnami
pravoúhlého trojúhelníku se rovná čtverci nad předponou.
Prvním úkolem toho, kdo se rád učí (mathematikos), je
porozumět tomu, co předkládaná věta říká. U vět běžného
jazyka tomu tak nemusí být. Ty jsou řazeny obvykle v toku
řeči nebo čtiva a to, jak rozumím jedné větě, může být
dost závislé na větách okolo. Dokonce se mé porozumění té
větě může, a není na tom nic špatného, třeba několikrát
změnit, v důsledku přítoku vět nových.
Abych porozuměl větě matematiky také potřebuji nějaké
souvislosti. V našem případě musím být obeznámen
s trojůhelníky, s tím, že mají tři strany a tři úhly, že
pravoúhlý trojúhelník má jeden úhel pravý, a taky, co to
je, že úhel je pravý, že strana pravoúhlého trojúhelníku,
která leží proti pravému úhlu se jmenuje přepona zatímco
zbylé strany jsou nazývány odvěsnami, že strany jsou úsečky,
jak vypadá čtverec nad úsečkou, co je míněno součtem
čtverců, jak se může součet dvou čtverců rovnat čtverci
třetímu a nejspíš ještě něčím dalším.
Přesto, když už matematické větě porozumím a dokud jí
nezapomenu, je to něco pevného, skála, která se nechvěje.
Nemění svůj význam podle toho, kdo k tomu co dodá.
(Na tomto místě bych chtěl svůj výklad přerušit a zeptat
se, jestli se každý z vás pevně drží té skály. Jestli je
každýmu, jasný, a tím myslím úplně jasný, opravdu úplně
jasný, co Pythagorova věta říká.)
Když už jsem se tedy postavil na skálu Pythagorovi věty,
můžu se pokusit ji dokázat po matematicku.
Představte si tedy, prosím, libovolný pravoúhlý trojúhelník.
Představte si dál, že vrchol u pravého úhlu spojíte
úsečkou s protilehlou přeponou tak, aby tato úsečka
s přeponou svírala pravý úhel. Téhle úsečce se říká výška.
Přeponu jsme tedy rozdělili na dvě části a trojúhelník na
dva trojúhelníky. Velký trojúhelník jsme rozdělili na dva
malé trojúhelníky.
Podívejme se teď na vztah malého trojúhelníka k velkému.
V úvaze o tomto vztahu nepoužiji nic, co by platilo jen pro
jeden z obou malých trojúhelníků, a tak bude výsledek mých
úvah platit pro oba. Pro oba malé trojúhelníky. Pro vztahy
jednoho i druhého malého trojúhelníku k velkém.
Soustřeďme se tedy na jeden z těch dvou malých trojúhelníků
a na jeho vztah k tomu velkému. Malý trojúhelník a velký
trojúhelník mají společnou jednu stranu. Je to odvěsna
velkého trojúhelníku. Zbylé dvě strany malého trojúhelníka
tvoří ona spušténá výška dělící velký trojúhelník na dva
malé a příslušná část přepony velkého trojúhelníka.
První, co si přivedu před svůj duševní zrak, je, že malý
trojúhelník je také pravoúhlý, pravý úhel je tam, kde se
výška dotýká přepony velkého trojúhelníka. Tomuhle místu se
říká pata výšky. Vzpomenu si při tom, že právě tak jsem
výšku sestrojil, jako úsečku svírající s přeponou pravý
úhel. Přepona malého trojúhelníka je ona strana, kterou
mají oba trojúhelníky společnou.
To, že jsou velký a malý trojúhelník oba pravoúhlé mimo jiné
znamená, že mají jeden úhel stejný, totiž pravý. Malý a
velký trojúhelník mají ale i další úhel stejný, ten mají
dokonce společný. Je to úhel svíraný jejich společnou
stranou, to jest příslušnou odvěsnou velkého trojúhelníku,
která já současně přeponou malého trojúhelníku, a přeponou
velkého trojúhelníka, jejíž část tvoří odvěsnu trojúhelníku
malého.
Protože však součet velikostí úhlů v každém troúhelníku, a
tedy i v našem velkém a malém trojúhelníku, je stejný,
zasvěcenci vědí, že je to sto osmdesát stupňů, mají malý
i velký trojúhelník i zbylý úhel stejný. Jeho velikost
je sto osmdesát stupňů, mínus velikost úhlu pravého, mínus
velikost úhlu společného.
Dvoum trojúhelníkům, které jsou jako ty naše velký a malý
obdařeny stejnou trojicí úhlů, se říká podobné; jsou stejné
až na velikost. Podobnost našich dvou trojúhelníků použiju
k odvození vztahu, ke kterému jsem celou dobu směřoval:
Poměr odvěsny velkého trojůhelníka, která je také přeponou
malého trojúhelníka, ku přeponě velkého trojúhelníka je
roven poměru odvěsny malého trojúhelníka, která je částí
přepony velkého trojúhelníka, ku přeponě malého
trojúhelníka.
Když tento poměr vynásobím oběma přeponami dostanu, že
čtverec nad odvěsnou velkého trojúhelníku, která je součaně
přeponou malého trojúhelníku se rovná násobku přepony
velkého trojúhelníku s odvěsnou malého trojúhelníka, která
je částí přepony velkého trojúhelníka.
Teď použiji to, co jsem před chvílí předpověděl, že totiž
to samé platí i pro druhý malý trojúhelník a obě rovnosti
sečtu, čímž dostanu, že součet čtverců nad odvěsnami velkého
trojúhelníku je rovenu součtu násobků přepony velkého
trojúhelníku s odvěsnami jednoho a druhého malého
trojúhelníku, které každá je částí přepony velkého
trojúhelníku. Součet násobků přepony velkého trojúhelníku
převedu na násobek přepony velkého trojúhelníku se součtem
odvěsen malých trojúhelníků, která každá je částí přepony
velkého trojúhelníku. Obě části tvoří dohromada přeponu
celou, takže dostávám čtverec nad přeponou.